← পাঠ্যসূচি
100%
অধ্যায় 10.2
র্যাঙ্ক-নালিটি উপপাদ্য
Rank-Nullity Theorem
তথ্য সংরক্ষণের একটি সুন্দর সমীকরণ
≈ ৯ মিনিট
ইনপুট স্পেসের যত মাত্রা — সেগুলো হয় আউটপুটে বেঁচে থাকে (rank), নয়তো শূন্যে পাঠানো হয় (nullity)। এই ভাগাভাগি কখনো ভাঙে না।
উপপাদ্য
A হলো m×n ম্যাট্রিক্স। তবে:
যেখানে nullity = dim(Null A)।
কেন এটা ঘটে
- n = ইনপুট স্পেস ℝⁿ-এর মাত্রা।
- rank = যতটা বেঁচে আউটপুটে যায়।
- nullity = যতটা সম্পূর্ণ শূন্যে পাঠানো হয়।
- মোট সংরক্ষিত: rank + nullity = n।
উদাহরণ
- Rank = 1 (দুই কলাম নির্ভরশীল)।
- Null space: x + 2y = 0 → এক প্যারামিটার → nullity = 1।
- চেক: 1 + 1 = 2 = n। ✓
ব্যবহার
- Ax = b-এর solution-এর কাঠামো বোঝা।
- Null space-এ যত মাত্রা — তত পরিবর্তনশীল ‘free variable’।
- Overdetermined/Underdetermined সিস্টেম চিহ্নিত করা।
চার সাবস্পেসের পূর্ণ ছবি
- ইনপুট পক্ষে: Row(A) ⊕ Null(A) = ℝⁿ, dim r + (n−r) = n।
- আউটপুট পক্ষে: Col(A) ⊕ LeftNull(A) = ℝᵐ, dim r + (m−r) = m।
মূল ভাবনা
- 1.rank(A) + nullity(A) = n।
- 2.Free variable-এর সংখ্যা = nullity।
- 3.Row ও Col space-এর dim সমান (= rank)।
- 4.তথ্য কখনো হারায় না — বেঁচে থাকে বা শূন্য হয়।
নিজেকে যাচাই করো
প্রশ্নে ক্লিক করে উত্তর দেখো — তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।
প্রশ্ন 1।Rank-Nullity সূত্র?
উত্তর:rank + nullity = n (কলাম সংখ্যা)।
প্রশ্ন 2।3×5 ম্যাট্রিক্স, rank 2 → nullity?
উত্তর:5 − 2 = 3।
প্রশ্ন 3।Null space শুধু 0 হলে rank?
উত্তর:n।
প্রশ্ন 4।Free variable-এর সংখ্যা?
উত্তর:Nullity।
ইন্টারেক্টিভ কুইজ
মূল ভাবনার উপর দ্রুত যাচাই — সঠিক বিকল্পটি বাছাই করো।
প্রশ্ন 1।“র্যাঙ্ক-নালিটি উপপাদ্য” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 2।“র্যাঙ্ক-নালিটি উপপাদ্য” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 3।“র্যাঙ্ক-নালিটি উপপাদ্য” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
প্রশ্ন 4।“র্যাঙ্ক-নালিটি উপপাদ্য” অধ্যায়ের মূল ভাবনাগুলোর মধ্যে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত?
উত্তর দেওয়া হয়েছে: 0/4